足”，即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法；
“方程”，原本只涉及一次方程组问题，不过在蔡吉的参与之下如今也记述了二次方程组。
“勾股”，就是利用勾股定理求解的各种问题。其所涉及的社会生活问题，令蔡吉见了也叹为观止。
当然初次考试蔡吉不会刻薄到直接让人开平方、开立方、解方程式。可若是连四则运算、平面几何都算不清楚的家伙，也就不用摸鱼了。由此可见，像林飞那样墨者，或是段芝那般喜好杂学的人士在明算一科上颇具优势。不过蔡吉开设明算科的意图，可不止招纳这个时代熟悉自然科学的人才。她同时也希望通过明算科能让理工科的人才进入官僚体系，并进而掌握主流价值，从而让人们越来越重视对自然科学的研究。
且就在蔡吉盘算着如何结合明算科、讲武堂以及工匠的力量，打造东汉的共济会之时，一声高亢的锣鼓声打断了她的思绪。但见全体四十九名毕业生，在诸多讲武堂学弟学妹们好奇地注视下，整齐划一地在校场上列成了一个七纵七列的方阵。而他们每一个人都清一色地穿着素色葛袍，仅以丝带束发。这并非是讲武堂的统一校服，而于古代学堂没有毕业典礼，加之这些学子毕业之后立马就会被分配到地方充当胥吏，因此讲武堂的毕业典礼实质上是一场大型的集体加冠礼。
古代男子二十岁行加冠礼，表示成年。冠礼一般是在宗庙中进行，由父亲主持，并由指定的贵宾给行冠礼的青年加冠。讲武堂的毕业生中虽有一部分人未满二十岁，但鉴于他们即将像成人一样为官府效力，提早加冠也没大不了。由于讲武堂的不少学子都是孤儿，或是出身卑微的工匠之子，故而此番加冠礼由年长的黄珍来主持，蔡吉以讲武堂主的身份充当学子们的长辈。郭嘉、王修、太史慈则是作为贵宾分别给学子加冠。
加冠礼共十个过程，即布席告祖、筮卜吉期；主人戒宾；礼馔於西塾；彻筮席；布加冠席；厥明告天；厥明告祖；东荣盥洗；陈献礼器；司礼就位於“堂阶”。前四步早在三天前就已完成，却见此时的蔡吉一身玄冠、朝服、缁带、素韠，在黄珍的指引下先是恭敬地向天地、先秦圣贤献上了事先准备好的祭品。继而蔡吉向到场的嘉宾郭嘉、王修、太史慈三揖三让，请他们上台为学子加冠。礼毕后郭嘉、王修、太史慈三人东荣盥洗上台就坐。黄珍旋即差人将加冠用的礼器一一呈上。紧跟着一干学子便
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